Несколько доказательств взаимного расположения перпендикуляров в прямоугольнике:

1. Доказательство по задаче 64871. 1 Дан прямоугольник ABCD, через точку B провели две перпендикулярные прямые. 1 Первая прямая пересекает сторону AD в точке K, а вторая — продолжение стороны CD в точке L. 1 Пусть F — точка пересечения KL и AC. 1 Нужно доказать, что BF перпендикулярно KL. 1

Решение: так как угол ABK = угол CBL, треугольники ABK и CBL подобны. 1 Значит, треугольники ABC и KBL также подобны и угол BKF = угол BAF. 1 Следовательно, четырёхугольник ABFK — вписанный, и угол BFK = 90°. 1

2. Доказательство по теореме о трёх перпендикулярах. 4 Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции. 4

Пример доказательства: прямая KA перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. 3 Нужно доказать перпендикулярность прямых KB и BC. 3

Решение: так как отрезок AK перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD, то он также перпендикулярен пересекающимся прямым AD и AB, лежащим в этой плоскости. 3 Отрезок AB есть проекция наклонной прямой BK на плоскость прямоугольника ABCD. 3 Так как ABCD — прямоугольник, то AB перпендикулярно B, а так как AB — проекция наклонной BK, то и сама наклонная BK перпендикулярна отрезку BC, что и требовалось доказать. 3