Одно из доказательств теоремы о базисном миноре: 1

1. Пусть ранг матрицы A равен r. 1 Фиксируем какой-либо её базисный минор M и соответствующие ему базисные строки матрицы A. 1
2. Докажем, что базисные строки линейно независимы. 1 Предположим, что они линейно зависимы. 1 Тогда по теореме 12.3 одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. 1 Согласно свойствам определителей, минор M равен нулю. 1 Это противоречит тому, что минор M базисный. 1
3. Теперь докажем, что любая строка матрицы A, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. 1 Предположим, что базисный минор M расположен в верхнем левом углу матрицы. 1 Пусть i — номер строки, не являющейся базисной, то есть r + 1 ≤ i ≤ m. 1 Покажем, что определитель порядка r + 1, полученный добавлением к минору M элементов i-й строки и произвольного j-го столбца матрицы A, j = 1,n, равен нулю. 1 При j ≤ r определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. 1 Если же j > r, то Δ = 0, так как в этом случае Δ является минором матрицы A, порядок которого равен r + 1 и больше ранга матрицы. 1

Ещё одно доказательство: 2

С помощью элементарных преобразований, а именно прибавляя к какой-либо строке матрицы одну из её базисных строк, умноженную на число, приводят матрицу к ступенчатому виду. 2 В результате этих преобразований некоторые небазисные строки обнуляются. 2 Отсюда непосредственно вытекает то, что небазисные строки являются линейной комбинацией базисных. 2 Транспонируют матрицу и применяют уже доказанное утверждение о строках, таким образом теорема будет доказана и для столбцов. 2