Какие существуют доказательства теоремы о базисном миноре?

Одно из доказательств теоремы о базисном миноре: angem.ru

1. Пусть ранг матрицы A равен r. angem.ru Фиксируем какой-либо её базисный минор M и соответствующие ему базисные строки матрицы A. angem.ru
2. Докажем, что базисные строки линейно независимы. angem.ru Предположим, что они линейно зависимы. angem.ru Тогда по теореме 12.3 одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. angem.ru Согласно свойствам определителей, минор M равен нулю. angem.ru Это противоречит тому, что минор M базисный. angem.ru
3. Теперь докажем, что любая строка матрицы A, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. angem.ru Предположим, что базисный минор M расположен в верхнем левом углу матрицы. angem.ru Пусть i — номер строки, не являющейся базисной, то есть r + 1 ≤ i ≤ m. angem.ru Покажем, что определитель порядка r + 1, полученный добавлением к минору M элементов i-й строки и произвольного j-го столбца матрицы A, j = 1,n, равен нулю. angem.ru При j ≤ r определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. angem.ru Если же j > r, то Δ = 0, так как в этом случае Δ является минором матрицы A, порядок которого равен r + 1 и больше ранга матрицы. angem.ru

Ещё одно доказательство: site-405052.mozfiles.com

С помощью элементарных преобразований, а именно прибавляя к какой-либо строке матрицы одну из её базисных строк, умноженную на число, приводят матрицу к ступенчатому виду. site-405052.mozfiles.com В результате этих преобразований некоторые небазисные строки обнуляются. site-405052.mozfiles.com Отсюда непосредственно вытекает то, что небазисные строки являются линейной комбинацией базисных. site-405052.mozfiles.com Транспонируют матрицу и применяют уже доказанное утверждение о строках, таким образом теорема будет доказана и для столбцов. site-405052.mozfiles.com