Какие существуют доказательства теоремы о квадрате?
Некоторые доказательства теорем о квадрате:
Теорема о том, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. 1 Для доказательства нужно разбить квадрат на равные квадратики и рассмотреть три случая: 1
Случай, когда сторона — целое число. 1 Возьмём квадрат со стороной 1 и разобьём его на n равных квадратов. 1 Площадь большого квадрата равна 1, следовательно, чтобы найти площадь каждого маленького квадратика, нужно площадь большого квадрата разделить на количество маленьких квадратиков, то есть получить площадь каждого маленького квадратика. 1 Сторона каждого маленького квадрата равна 1, значит, равна 1, так как площадь квадрата равна квадрату его стороны. 1
Случай, когда сторона — конечная десятичная дробь. 1 Разобьём данный квадрат со стороной на n равных квадратов. 1 Каждая сторона данного квадрата разобьётся на n равных частей, тогда сторона любого маленького квадрата равна 1. 1 По формуле (1) площадь маленького квадрата равна 1, чтобы найти площадь данного квадрата, нужно умножить число маленьких квадратов на их площадь. 1
Случай, когда сторона — бесконечная десятичная дробь. 1 Рассмотрим число, получаемое из отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с n-го. 1 Так как число отличается от числа не более чем на 1, то 1/n отличается от 1/n не более чем на 1, откуда 1/n отличается от 1/n не более чем на 1. 1 Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной 1 и площадью квадрата со стороной 1/n, то есть между 1 и 1/n, значит, 1/n отличается от 1/n не более чем на 1. 1 Если неограниченно увеличивать число n, то число будет становиться сколь угодно малым, 1/n будет сколь угодно мало отличаться от 1/n. 1 Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что 1/n сколь угодно мало отличается от 1/n, что и требовалось доказать. 1
Теорема о том, что радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали. 3 Диагонали квадрата равны, пересекаются в точке O и делятся точкой пересечения пополам. 3 Поэтому OA=OB=OC=OD, то есть точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). 3 Это и есть описанная около квадрата ABCD окружность. 3 По теореме 1:d=a√2. 3 Тогда R=a√2/2, что и требовалось доказать. 3
