Существует несколько доказательств того, что площадь квадрата равна квадрату его стороны: 2

1. Первый случай: пусть — целое число. 2 Возьмём квадрат со стороной 1 — это эталон. 1 Разобьём его на равных квадратов. 1 Площадь большого квадрата равна 1, следовательно, чтобы найти площадь каждого маленького квадратика, нужно площадь большого квадрата разделить на количество маленьких квадратиков, число которых —. 2 Сторона каждого маленького квадрата равна , значит, равна , так как. 2
2. Второй случай: пусть — конечная десятичная дробь, содержащая знаков после запятой (если = 0, то — целое число), — целое число. 2 Разобьём данный квадрат со стороной на равных квадратов. 2 Каждая сторона данного квадрата разобьётся на равных частей, тогда сторона любого маленького квадрата равна. 2 По формуле площадь маленького квадрата равна , чтобы найти площадь данного квадрата, нужно умножить число маленьких квадратов на их площадь, то есть. 2
3. Третий случай: бесконечная десятичная дробь. 2 Рассмотрим число , получаемое из отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с -го. 2 Так как число отличается от числа не более чем на , то , откуда. 2 Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной и площадью квадрата со стороной , то есть между и , значит:. 2 Если неограниченно увеличивать число , то число будет становиться сколь угодно малым, число будет сколь угодно мало отличаться от числа , поэтому из неравенств следует, что число сколь угодно мало отличается от числа , что и требовалось доказать. 2