Доказательство того, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке: 13

1. Пусть АА1 и ВВ1 — биссектрисы треугольника ABC, пересекающиеся в точке О. 3
2. Точка О равноудалена от сторон AC и AB (так как лежит на биссектрисе АА1), а также равноудалена от сторон BC и AB (так как лежит на биссектрисе ВВ1). 3
3. Следовательно, точка О равноудалена от сторон AC и BC. 3 Это означает, что точка О лежит на биссектрисе угла C. 3
4. Таким образом, биссектриса угла C также проходит через точку О, что и требовалось доказать. 3

Доказательство того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке: 17

1. Рассмотрим треугольник АВС с медианами АА1 и ВВ1, которые пересекаются в точке О. 1
2. Отрезок А1В1 — средняя линия треугольника, тогда она параллельна АВ. 1
3. Тогда треугольники ОВ1А1 и ОВА подобны по двум углам. 1 А1В1 относится к АВ как 1/2, следовательно: АО/ОА1 = ВО/ОВ1 = 1/2. 1
4. Аналогично медиана СС1 пересекается с данными медианами в точке О, при этом точка О делит каждую медиану в отношении 1/2, считая от вершины. 1