Один из способов доказательства неравенства треугольника, предложенный Евклидом в «Началах»: 1

1. Доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. 1
2. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. 1
3. Далее методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. 1
4. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. 1

Ещё один способ доказательства — через высоту треугольника: 2

1. В произвольном треугольнике АВС проводят высоту АН. 2
2. Высота разбивает произвольный треугольник на два прямоугольных. 2
3. Для каждого из прямоугольных треугольников в виде неравенств записывают, что катет всегда меньше гипотенузы. 2
4. Складывают два неравенства, для этого нужно сложить правые части неравенств и левые с сохранением знака. 2
5. Полученное выражение означает, что сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. 2
6. Высоту можно провести к любой стороне и повторить аналогичное доказательство. 2