Какие существуют доказательства неравенства треугольника в истории геометрии?

Один из способов доказательства неравенства треугольника, предложенный Евклидом в «Началах»: ru.wikipedia.org

1. Доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. ru.wikipedia.org
2. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. ru.wikipedia.org
3. Далее методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. ru.wikipedia.org
4. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. ru.wikipedia.org

Ещё один способ доказательства — через высоту треугольника: obrazovaka.ru

1. В произвольном треугольнике АВС проводят высоту АН. obrazovaka.ru
2. Высота разбивает произвольный треугольник на два прямоугольных. obrazovaka.ru
3. Для каждого из прямоугольных треугольников в виде неравенств записывают, что катет всегда меньше гипотенузы. obrazovaka.ru
4. Складывают два неравенства, для этого нужно сложить правые части неравенств и левые с сохранением знака. obrazovaka.ru
5. Полученное выражение означает, что сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. obrazovaka.ru
6. Высоту можно провести к любой стороне и повторить аналогичное доказательство. obrazovaka.ru