Одно из доказательств неравенства сторон треугольника (в том числе прямоугольного) основано на теореме о том, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 12

Доказательство: 1

1. В произвольном треугольнике АВС проводят высоту АН, которая разобьёт его на два прямоугольных. 1
2. Для каждого из прямоугольных треугольников записывают неравенство, что катет всегда меньше гипотенузы. 1 Это происходит, потому что в треугольнике действует отношение сторон и углов: напротив наибольшего угла всегда находится наибольшая сторона, а в треугольнике наибольшим углом всегда является угол в 90 градусов. 1
3. Складывают два неравенства: ВН < АВ и НС < АС. 1
4. Проводят ту же операцию с соотношением сторон в треугольнике: ВН + НС < АВ + АС. 1
5. Поскольку ВН + НС = ВС, то ВС < АВ + АС, то есть сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. 1

Высоту можно провести к любой стороне и повторить аналогичное доказательство. 1