Какие стратегии можно использовать для решения олимпиадных уравнений в целых числах?

Некоторые стратегии, которые можно использовать для решения олимпиадных уравнений в целых числах:

• Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу. 1
• Использование чётности/нечётности частей уравнения. 1 Например, можно показать, что уравнение не имеет решений в целых числах, если возникает противоречие между чётностью частей уравнения. 1
• Метод испытания остатков. 1 Он основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число. 1
• Способ перебора вариантов. 2 Можно выразить одну переменную через другую и провести полный перебор вариантов. 2
• Применение алгоритма Евклида. 2 Если в уравнении ax+by=c, где a, b, c — целые числа, a и b не равны 0, то уравнение не разрешимо в целых числах, если c не делится нацело на НОД(a,b). 2
• Метод разложения на множители. 5 Его применяют, когда в уравнениях можно использовать формулу суммы, разности квадратов или другой способ разложения. 5
• Метод бесконечного спуска. 24 Он заключается в построении бесконечной последовательности убывающих целых положительных чисел. 4
• Оценка выражений, входящих в уравнение. 2

Выбор стратегии зависит от вида уравнения и условий задачи.