Некоторые способы доказательства равносильности уравнений:

• Теорема 1. 12 Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. 12
• Теорема 2. 12 Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному. 12
• Теорема 3. 1 Показательное уравнение а f(x) =а g(x) (где а>0, а≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x). 1
• Теорема 4. 12 Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение, которое имеет смысл всюду в области определения уравнения и нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение, равносильное данному. 12
• Теорема 5. 1 Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень получится уравнение, равносильное данному. 12
• Теорема 6. 1 Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение logаf(x) = logа g(x), где а>0, а≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x). 1

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. 12