Некоторые способы доказательства положительных значений в математике:

• Упрощение выражения. 1 Например, можно показать, что в упрощённом выражении присутствуют только положительные слагаемые, объединённые знаком суммы. 1 В таком случае можно утверждать, что выражение при любом раскладе значений переменных будет всегда давать положительный результат. 1
• Выделение полного квадрата. 2 Например, можно доказать, что при любых значениях x выражение x² + 8x + 19 принимает положительные значения. 2 Для этого нужно представить число 19 в виде суммы 16 и 3, выделить полный квадрат и свернуть выражение по формуле сокращённого умножения. 2 В результате получится сумма квадрата выражения и числа 3, которая заведомо будет положительным числом. 2
• Использование формул. 4 Например, при решении задач на доказательство неравенств или равенств применяют формулы о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел. 4
• Применение принципа математической индукции. 4 Этот метод используют, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. 4 Для этого сначала проверяют истинность утверждения с номером 1 (база индукции), а затем доказывают, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 (шаг индукции, или индукционный переход). 4