Какие современные методы используются для эффективного расчета интегральных функций?

Для эффективного расчёта интегральных функций используют, например, численное интегрирование — набор методов, которые позволяют найти значение определённого интеграла (как правило, приближённое). ru.wikipedia.org

Некоторые из таких методов:

• Метод прямоугольников. ru.wikipedia.org Подынтегральная функция заменяется полиномом нулевой степени. ru.wikipedia.org
• Метод трапеций. ru.wikipedia.org Подынтегральная функция заменяется полиномом первой степени. ru.wikipedia.org
• Метод парабол (Симпсона). ru.wikipedia.org Подынтегральная функция заменяется полиномом второй степени. ru.wikipedia.org
• Метод Гаусса. ru.wikipedia.org Обеспечивает высокую точность для малого числа узлов. nti.ncfu.ru Рационально применять для интегрирования сложных функций, на вычисление значений которых затрачивается много времени. nti.ncfu.ru
• Методы Монте-Карло. ru.wikipedia.org
• Методы Рунге — Кутты. ru.wikipedia.org
• Метод сплайнов. ru.wikipedia.org

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. ru.wikipedia.org