Несколько примеров, которые иллюстрируют применение принципа Дирихле:

• Задача о ковре. 1 В ковре размером 5 × 5 м моль проела 24 дырки. 1 Нужно доказать, что из него всегда можно вырезать коврик квадратной формы со стороной 1 м, в котором не будет дыр. 1 Решение: разделить ковёр на квадраты со стороной 1 м, таких квадратов будет 25, а дыр — 24, значит, существует квадрат, внутри которого дыр нет. 1
• Задача о точках. 1 Внутри квадрата со стороной 1 размещено 2 п 2 + 1 точек. 1 Нужно доказать, что можно построить круг радиуса 1/п, внутри которого будут лежать не менее 3 из этих точек. 1 Решение: разделить квадрат со стороной 1 на квадраты со стороной 1/п, общее количество таких квадратов — п 2, точек — 2 п 2 + 1, при делении 2 п 2 + 1 на п 2 получается 2 и остаток 1. 1 Следовательно, согласно принципу Дирихле, существует квадрат, внутри которого или на границе находится не менее трёх точек. 1
• Задача о точках на плоскости. 1 Даны 26 точек с целыми координатами. 1 Нужно доказать, что существует отрезок, соединяющий какие-то две из данных точек, на котором будет не менее пяти точек с целыми координатами. 1 Решение: различных пар остатков, полученных при делении обеих координат на 5, будет 5 × 5 = 25, по условию точек 26, следовательно, по принципу Дирихле, среди них найдутся 2 точки, деление координат которых на 5 даст равные остатки. 1
• Задача о учениках. 34 В классе 30 человек, Саша Иванов сделал в диктанте 13 ошибок, остальные — меньше. 4 Нужно доказать, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть по 0 ошибок). 4 Решение: здесь «зайцы» — ученики, «клетки» — число сделанных ошибок. 4 В клетку «0» «посадим» тех учащихся, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку «1» — тех, у кого 1 ошибка, в клетку «2» — две и так далее. 4
• Задача о днях рождения. 4 В школе 400 учеников, нужно доказать, что хотя бы двое из них родились в один день. 4 Решение: всего в году бывает 366 дней, назовём дни ящиками, а учеников — кроликами. 4 Тогда в некотором ящике сидят не меньше 400/366 кроликов, то есть больше одного, и, следовательно, не меньше двух. 4