Положительно определённые матрицы в оптимизации имеют следующие практические применения:

• Определение типа точки, исследуемой на экстремум. 1 Если квадратичная форма, соответствующая матрице, положительно определена, то исследуемая точка является точкой минимума. 1 Если условия положительной определённости не выполняются, но все главные миноры матрицы, имеющие нечётный порядок, отрицательны, то квадратичная форма будет отрицательно определённой, и, следовательно, функция в этой точке имеет максимум. 1
• Проверка, соответствует ли стационарная точка минимуму. 3 Для этого вычисляют матрицу Гессе функции Лагранжа, которая, если положительно определена, указывает на то, что стационарная точка соответствует минимуму. 3

Таким образом, положительно определённые матрицы помогают решать задачи о типе точки, исследуемой на экстремум, и проверять, соответствует ли определённая точка минимуму или максимуму.