Уравнения Эйлера-Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления и широко используются в задачах оптимизации и для вычисления траекторий в механике. 25

Некоторые практические применения:

• Определение кратчайшего пути между двумя точками в пространстве, принимая во внимание влияние силы тяжести. 1 Например, движение частицы в гравитационном поле. 1
• Минимизация энергии системы. 1 Например, поиск оптимальной формы арки или балки для минимизации изгиба. 1
• Максимизация действия. 1 Применение принципа наименьшего действия для нахождения траектории, по которой движется тело. 1 Например, движение свободной частицы между двумя точками. 1
• Движение на поверхности. 1 Определение формы поверхности, по которой движется тело, с целью минимизации силы трения. 1 Часто рассматривается в контексте транспортных средств. 1
• Динамика системы «мост-поезд». 4 Уравнения Эйлера-Лагранжа используются для решения задачи вынужденных колебаний этой системы, учитываются динамические особенности подвижных нагрузок и пролётных строений железнодорожных мостов. 4
• Минимизация тепловых потерь в якоре двигателя постоянного тока. 5 С помощью уравнения Эйлера-Лагранжа можно рассчитать оптимальное значение тока якоря, при котором тепловые потери в якоре минимальны. 5