Некоторые открытия Бернхарда Римана, которые оказали значительное влияние на развитие математики:

• Создание геометрического направления теории аналитических функций. 3 Риман разработал теорию конформных отображений и общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них римановы поверхности, на которых эти функции однозначны. 3
• Введение понятия линейного элемента (дифференциала расстояния между точками многообразия). 12 Риман рассмотрел римановы пространства, обобщающие пространства геометрии Евклида, гиперболической геометрии Лобачевского и эллиптической геометрии Римана, и развил учение об их кривизне. 12
• Формализация понятия интеграла и введение своего определения — интеграл Римана, ставший стандартом в классическом анализе. 3
• Исследование распределения простых чисел. 3 Риман дал интегральное представление дзета-функции, исследовал её полюса и нули, выдвинул гипотезу Римана. 3 Вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел через интегральный логарифм. 3
• Изучение уравнений газовой динамики. 1 Риман стал одним из основоположников классической газовой динамики, предложил метод аналитического решения нелинейного уравнения, описывающего одномерное движение сжимаемой жидкости. 35
• Постановка вопроса о «причинах метрических свойств» физического пространства. 1 Здесь Риман предвосхитил общую теорию относительности. 3

Работы Римана оказали большое влияние на развитие математики второй половины XIX века и в XX веке. 4