Основные различия между естественным и линейным отображением результатов вычислений:

1. Естественное отображение не является линейным, например, отображение, которое каждому вектору ставит в соответствие его длину, не является линейным, поскольку не выполняется условие однородности. 2
2. Линейное отображение обладает такими свойствами, как аддитивность и однородность. 23 Например, линейным отображением является операция взятия обычной производной или интегрирование. 4

Таким образом, основное различие заключается в том, что естественное отображение не обладает всеми свойствами линейного, в частности, не выполняется условие однородности для некоторых операций.

Также линейные (аффинные) отображения служат основой анализа отображений нелинейных, но этот анализ носит локальный характер: линеаризация адекватно приближает исходное нелинейное отображение лишь в малых областях значений аргументов. 1