Какие основные правила написания союзов притом и причем существуют в русском языке?

Основное правило написания союзов «притом» и «причём» в русском языке: если это союз, то писать его нужно слитно, если сочетание других частей речи — раздельно. pro.culture.ru dzen.ru

Слитное написание применяется, когда: pro.culture.ru

• слово придаёт фразе значение дополнения, пояснения; pro.culture.ru
• к нему нельзя задать вопрос; pro.culture.ru
• его можно заменить на другой, похожий по значению союз: «вместе с тем», «к тому же» и т. д.. pro.culture.ru

Некоторые случаи употребления союзов «притом» и «причём» для слитного написания:

• присоединение однородных членов и поясняющих, дополняющих конструкций. pro.culture.ru Пример: «М. Васильева, будучи талантливым мастером и притом прекрасным преподавателем, начала работать в Доме культуры в 1996 году». pro.culture.ru
• присоединение второй части сложносочинённого предложения с пояснением или примечанием. pro.culture.ru Пример: «Валентина Артемова прекрасно рисует, мастерит изделия из дерева, притом она замечательный лектор». pro.culture.ru

Раздельное написание применяется, когда: pro.culture.ru

• «При том» употребляется в предложениях с указанием на что-либо. pro.culture.ru К местоимению «том» можно задать вопрос, а также убрать из предложения без потери смысла. pro.culture.ru Пример: «При том (при каком?) музее был обустроен небольшой парк, который до сих пор принимает посетителей». pro.culture.ru
• «При чём» обычно употребляется в вопросительных предложениях и сложноподчинённых предложениях при присоединении изъяснительных придаточных. pro.culture.ru Пример: «При чём здесь его последние произведения?». pro.culture.ru