Какие основные подходы используются для приведения уравнений к каноническому виду в математике?

Некоторые основные подходы, которые используются для приведения уравнений к каноническому виду в математике:

1. Поворот и параллельный перенос прямоугольной системы координат. www.mathprofi.ru Например, для уравнения эллипса нужно повернуть его на определённый угол вокруг точки и осуществить параллельный перенос центром в начало координат. www.mathprofi.ru
2. Метод характеристик. spravochnick.ru Этот способ позволяет приводить к каноническому виду уравнения с двумя переменными сразу во всех точках области, где уравнение принадлежит к определённому типу. spravochnick.ru Для этого составляют характеристическое уравнение, корни которого являются коэффициентами канонического вида квадратичной формы. spravochnick.ru В зависимости от типа уравнения применяются различные преобразования: spravochnick.ru

• Гиперболический тип. spravochnick.ru Составляют характеристическое уравнение, которое распадается на два уравнения первого порядка. spravochnick.ru Делают замену и выражают частные производные по старым переменным через частные производные по новым. spravochnick.ru Затем подставляют в главную часть уравнения. spravochnick.ru
• Эллиптический тип. spravochnick.ru Характеристическое уравнение имеет отрицательный дискриминант и комплексно-сопряжённые корни. spravochnick.ru Делают замену. spravochnick.ru После замены главная часть примет канонический вид уравнения эллиптического типа. spravochnick.ru
• Параболический тип. spravochnick.ru В случае параболического уравнения дискриминант уравнения для характеристик равен нулю, а потому имеется только один корень и, как следствие, всего один общий интеграл. spravochnick.ru Делают замену, где используется произвольная функция. spravochnick.ru После замены главная часть примет вид, откуда делением получают канонический вид для параболического уравнения. spravochnick.ru

Выбор подхода зависит от типа уравнения и других факторов.