Некоторые основные подходы, которые используются для приведения уравнений к каноническому виду в математике:

1. Поворот и параллельный перенос прямоугольной системы координат. 1 Например, для уравнения эллипса нужно повернуть его на определённый угол вокруг точки и осуществить параллельный перенос центром в начало координат. 1
2. Метод характеристик. 2 Этот способ позволяет приводить к каноническому виду уравнения с двумя переменными сразу во всех точках области, где уравнение принадлежит к определённому типу. 2 Для этого составляют характеристическое уравнение, корни которого являются коэффициентами канонического вида квадратичной формы. 2 В зависимости от типа уравнения применяются различные преобразования: 2

• Гиперболический тип. 2 Составляют характеристическое уравнение, которое распадается на два уравнения первого порядка. 2 Делают замену и выражают частные производные по старым переменным через частные производные по новым. 2 Затем подставляют в главную часть уравнения. 2
• Эллиптический тип. 2 Характеристическое уравнение имеет отрицательный дискриминант и комплексно-сопряжённые корни. 2 Делают замену. 2 После замены главная часть примет канонический вид уравнения эллиптического типа. 2
• Параболический тип. 2 В случае параболического уравнения дискриминант уравнения для характеристик равен нулю, а потому имеется только один корень и, как следствие, всего один общий интеграл. 2 Делают замену, где используется произвольная функция. 2 После замены главная часть примет вид, откуда делением получают канонический вид для параболического уравнения. 2

Выбор подхода зависит от типа уравнения и других факторов.