Какие методы применяются для вычисления интегралов с помощью вычетов?

Некоторые методы, которые применяются для вычисления интегралов с помощью вычетов:

• Преобразование определённых интегралов от функций вещественного переменного в интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного переменного. vmath.ru Это позволяет применить основную теорему о вычетах. vmath.ru
• Вычисление вычетов в конечных особых точках. vmath.ru Если особая точка существенно особая, то способ вычисления вычета — разложение функции в ряд Лорана и определение коэффициента. vmath.ru Для нахождения вычета в полюсе есть несколько приёмов: vmath.ru
• Для простого полюса можно воспользоваться формулой: Res f(z0) = lim(f(z)(z-z0)). vmath.ru
• Для полюса порядка m: Res f(z0) = (m-1)!(lim(d^{m-1}f(z)(z-z0))). vmath.ru
• Вычисление несобственных интегралов первого типа. dl.libcats.org Алгоритм решения: dl.libcats.org

1. Показать, что знаменатель не обращается в нуль на действительной оси и что его степень по крайней мере на две единицы больше степени многочлена Р(х). dl.libcats.org
2. Перейти к функции комплексной переменной R(z) = P(z) / Q(z). dl.libcats.org
3. Найти комплексные корни многочлена Q(z), которые являются полюсами функции R(z). dl.libcats.org
4. Из найденных полюсов функции R(z) выбрать только те, которые лежат в верхней полуплоскости. dl.libcats.org
5. По правилам вычислить вычеты Re s R(z), k = 1, n; z=zk. dl.libcats.org
6. По формуле вычислить интеграл. dl.libcats.org Иногда пункты 5) и 6) выполняются одновременно. dl.libcats.org

Также для вычисления определённых интегралов применяется метод, при котором отрезок дополняют кривой, которая вместе с ним ограничивает некоторую область. elibrary.sgu.ru Функция аналитически продолжается в построенную таким образом область, и к аналитическому продолжению применяется основная теорема о вычетах. elibrary.sgu.ru