Какие методы применяются для построения вписанных четырехугольников в современную эпоху?

Возможно, имелся в виду метод построения бицентрического четырёхугольника. ru.wikipedia.org

Построение начинается с вписанной окружности с центром I и радиусом r. ru.wikipedia.org Затем рисуют две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности. ru.wikipedia.org На концах хорд проводят касательные a, b, c и d к вписанной окружности. ru.wikipedia.org Они пересекаются в точках A, B, C и D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольника. ru.wikipedia.org

Для построения четырёхугольников в целом используют базовые геометрические инструменты, такие как линейка, циркуль и транспортир. www.geeksforgeeks.org

Также есть видео, посвящённое методу построения вписанных четырёхугольников — «Метод вспомогательной окружности». www.youtube.com yandex.ru