Для доказательства теорем о предельном переходе используются различные методы, например:

• Метод от противного. 3 Например, с его помощью доказывается теорема 3.4.1: если функция имеет предел при определённом значении, равный А, и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то это так. 3
• Принцип двустороннего ограничения. 5 Также известен как теорема о двух милиционерах, теорема сжатия, правило сэндвича, теорема о трёх струнах. 5
• Теорема Рисса. 1 С её помощью выделяют сходящуюся подпоследовательность. 1 Например, так доказывается теорема о предельном переходе под знаком интеграла. 1