Какие методы доказательства площади квадрата существуют в геометрии?

Один из методов доказательства площади квадрата в геометрии заключается в том, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. budu5.com edu.glavsprav.ru

Доказательство проводится по трём случаям: budu5.com

1. Случай, когда сторона — целое число. budu5.com Берётся квадрат со стороной 1 и разбивается на n2 равных квадратов. edu.glavsprav.ru Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. edu.glavsprav.ru Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, то есть равна a. edu.glavsprav.ru
2. Случай, когда сторона — конечная десятичная дробь. budu5.com Разобьём данный квадрат со стороной a на m2 равных квадратов. edu.glavsprav.ru При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна a/m = a / (a · 10n) = 1/10n. edu.glavsprav.ru По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10n)2. edu.glavsprav.ru Следовательно, площадь S данного квадрата равна m2 · (1/10n)2 = (m/10n)2 = ((a · 10n)/10n)2 = a2. edu.glavsprav.ru
3. Случай, когда сторона — бесконечная десятичная дробь. budu5.com Рассмотрим число an, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. edu.glavsprav.ru Так как число a отличается от an не более чем на 1/10n, то an ≤ a ≤ an + 1/10n, откуда an2 ≤ a2 ≤ (an + 1/10n)2. edu.glavsprav.ru Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной an и площадью квадрата со стороной an + 1/10n: т. е. между an2 и (an + 1/10n)2: an2 ≤ S ≤ (an + 1/10n)2. edu.glavsprav.ru Будем неограниченно увеличивать число n. edu.glavsprav.ru Тогда число 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (an + 1/10n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа an2. edu.glavsprav.ru Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a2. edu.glavsprav.ru Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать. edu.glavsprav.ru