Один из методов доказательства площади квадрата в геометрии заключается в том, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. 35

Доказательство проводится по трём случаям: 3

1. Случай, когда сторона — целое число. 3 Берётся квадрат со стороной 1 и разбивается на n2 равных квадратов. 5 Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. 5 Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, то есть равна a. 5
2. Случай, когда сторона — конечная десятичная дробь. 3 Разобьём данный квадрат со стороной a на m2 равных квадратов. 5 При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна a/m = a / (a · 10n) = 1/10n. 5 По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10n)2. 5 Следовательно, площадь S данного квадрата равна m2 · (1/10n)2 = (m/10n)2 = ((a · 10n)/10n)2 = a2. 5
3. Случай, когда сторона — бесконечная десятичная дробь. 3 Рассмотрим число an, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. 5 Так как число a отличается от an не более чем на 1/10n, то an ≤ a ≤ an + 1/10n, откуда an2 ≤ a2 ≤ (an + 1/10n)2. 5 Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной an и площадью квадрата со стороной an + 1/10n: т. е. между an2 и (an + 1/10n)2: an2 ≤ S ≤ (an + 1/10n)2. 5 Будем неограниченно увеличивать число n. 5 Тогда число 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (an + 1/10n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа an2. 5 Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a2. 5 Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать. 5