Какие математические законы влияют на возможность построения замкнутой ломаной линии?

Возможно, имелись в виду свойства ломаных линий, которые влияют на возможность построения замкнутой ломаной. Некоторые из них:

• Теорема Жордана. ru.ruwiki.ru Простая замкнутая ломаная на плоскости разбивает точки плоскости на две области — внутреннюю и внешнюю. ru.ruwiki.ru Любые две точки из одной области можно соединить ломаной, которая целиком содержится в этой области. ru.ruwiki.ru Две точки из разных областей соединить нельзя: любая ломаная, которая их соединяет, пересекается с исходной ломаной. ru.ruwiki.ru
• Неравенство треугольников. matworld.ru Длина невырожденной ломаной больше расстояния между первым и последним точками. matworld.ru
• Существование ломаных с определённым количеством звеньев. multiurok.ru Например, не существует ломаной с нечётным числом звеньев, которая пересекает каждое своё звено ровно один раз. multiurok.ru

Ломаная называется замкнутой, если первая и последняя точки ломаной совпадают, при этом отрезки, которые её составляют, не должны лежать на одной прямой. www.resolventa.ru ru.ruwiki.ru