Некоторые математические задачи, связанные с применением теоремы Птолемея:

• Доказать, что в равнобочной трапеции произведение длин оснований равно разности квадратов диагонали и боковой стороны. 1
• В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). 1 На дуге АВ взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника. 1 Доказать, что АК • КС = АВ2 – КВ2. 1
• В равнобочной трапеции основание АD равно диагонали АС. 1 Известно, что САD = СDМ, где М — середина ВС. 1 Найти углы трапеции. 1
• Вокруг равностороннего треугольника АВС описана окружность радиуса R. 1 На дуге ВС окружности взята точка М так, что дуга ВС делится этой точкой в отношении 1:3, считая от вершины В. 1 Найти расстояние АМ. 1

Также есть задачи, в которых нужно доказать неравенство Птолемея, например: «Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство AB·CD + AC·BD > AD·BC». 2