Какие математические задачи связаны с леммой о рукопожатиях?

Некоторые математические задачи, связанные с леммой о рукопожатиях:

• Задача о количестве рукопожатий в компании. 3.shkolkovo.online В компании 15 человек, каждый сделал по 5 рукопожатий. 3.shkolkovo.online Нужно найти общее количество рукопожатий. 3.shkolkovo.online Решение: рассмотрим граф, в котором люди — вершины, а сделанные рукопожатия — рёбра. 3.shkolkovo.online Тогда суммарная степень всех вершин равна 15⋅5=75. 3.shkolkovo.online По теореме эта сумма должна быть в два раза больше числа рёбер. 3.shkolkovo.online Но сумма нечётна, и такое невозможно, ведь количество рёбер не может быть нецелым. 3.shkolkovo.online
• Задача о вассалах короля. urok.1sept.ru У короля 19 баронов-вассалов. urok.1sept.ru Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств? urok.1sept.ru Решение базируется на том факте, что при построении графа, соответствующего условиям задачи, получается противоречие со следствием леммы о рукопожатиях о чётном количестве нечётных вершин графа. urok.1sept.ru
• Задача о 9 отрезках на плоскости. urok.1sept.ru Нужно определить, можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими. urok.1sept.ru Решение также включает использование следствия леммы о рукопожатиях. urok.1sept.ru