Омар Хайям сделал значительные открытия в области алгебры, геометрии и астрономии. 1 Некоторые из них:

• Дал первое известное определение алгебры, назвав её наукой об определении неизвестных величин при помощи решения уравнений. 1
• Ввёл классификацию уравнений в трактате 1070 года «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы». 1 Основываясь на идеях Архимеда, предложил геометрический метод решения некоторых кубических уравнений по точкам пересечения конических сечений. 1
• Предложил более простую формулировку V постулата Евклида в «Комментариях к трудным постулатам книги Евклида» (1077). 1 Также сформулировал новые определения пропорции и неравенства отношений, заложил основы для будущего расширения понятия числа. 1
• Теоретически обосновал расширение понятия числа до положительного действительного числа. 3
• Разработал общий приём извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев». 25
• По некоторым свидетельствам, внёс вклад в разработку биномиальной теоремы, обобщённую формулу которой вывел в XVII веке Исаак Ньютон. 1
• Разработал солнечный календарь, получивший название джалали. 1 Он был официально принят в 1079 году, а его упрощённая версия действует в Иране и Афганистане по сей день. 1