Какие математические концепции зависят от определения нуля как натурального числа?

Возможно, имелись в виду концепции, связанные с нулём и его свойствами. Некоторые из них:

• Умножение любого числа на ноль даёт ноль. habr.com ru.ruwiki.ru
• Любое число при сложении с нулём не меняется: a + 0 = 0 + a = a. ru.ruwiki.ru
• При вычитании нуля из любого числа получается то же число: a − 0 = a. ru.ruwiki.ru
• На числовой прямой ноль разделяет положительные и отрицательные числа. ru.ruwiki.ru
• Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: 0 / 2 = 0. ru.ruwiki.ru

Существуют разные подходы к определению натуральных чисел, и в некоторых из них ноль причисляют к натуральным числам, в других — нет. www.bolshoyvopros.ru ru.ruwiki.ru Например, в российских школьных программах по математике ноль не относят к натуральным числам. ru.ruwiki.ru

Однако есть мнение, что наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль. web.archive.org