Какие математические головоломки можно решить, используя свойства описанной окружности?

Возможно, имелись в виду геометрические задачи, для решения которых используют метод вспомогательной окружности. 13 С его помощью можно установить связь между данными и неизвестными элементами. 1

Некоторые задачи, которые можно решить с помощью вспомогательной окружности:

• Доказать, что FAK = FBK в прямоугольном треугольнике ABC, если на катете BC взята произвольная точка F, так что FK перпендикулярна AC. 3 Решение: рассмотреть четырёхугольник ABFK, где B = FKA = 90°, значит, в этом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. 3 Описав окружность, можно заметить, что FAK и FBK опираются на одну дугу, следовательно, они равны. 3
• Доказать, что ABS = AFK в остроугольном треугольнике ABC, если проведены высоты AF, BS, CK, которые пересекаются в точке O. 3 Решение: так как AFB и CKB — прямые, то около четырёхугольника OFBK можно описать окружность, взяв BO за периметр. 3 Построив окружность, можно заметить, что ABS = AFK, так как они опираются на одну и ту же дугу. 3
• Доказать, что АВСD — равнобедренная трапеция, если в трапеции АВСD с основаниями AD и ВС угол АВD равен углу АСD. 1 Решение: отрезок АD виден из точек В и С под одним и тем же углом, значит, точки А, В, С и D лежат на одной окружности. 1 Поскольку ВС ∥ AD, то дуга АВ = дуге CD, следовательно, АВ = CD и АВСD — равнобедренная трапеция. 1