Некоторые ключевые моменты, которые привели к доказательству теоремы Пуанкаре:

1. Присвоение геометрических свойств односвязному трёхмерному пространству. 1 Оно разделяется на метрические элементы, которые имеют расстояния между собой с образованием углов. 1
2. Использование потоков Риччи. 2 Они перераспределяют положительную (выгнутая кривизна) и отрицательную (вогнутая кривизна) кривизну на произвольной замкнутой трёхмерной поверхности, приводя её к эвклидовой сфере. 2
3. Доказательство того, что в результате применения потока Риччи «выбрасывается» всё. 3 Это означает, что исходное многообразие можно представить как набор сферических пространственных форм, соединённых друг с другом трубками. 3
4. Назначение каждой точке кривой вектора, перпендикулярного вектору угловой скорости и длиной равный величине кривизны. 15 Он повёрнут внутрь, когда кривизна имеет положительный наклон, и вовне — когда отрицательный. 1 Соответствующий вектор определяет направление и скорость, с которой движется каждая точка на плоскости. 1
5. Доказательство того, что замкнутая кривая, проведённая в любом месте плоскости, при такой эволюции превращается в окружность. 5 Это справедливо для трёхмерного пространства, что и требовалось доказать. 1

Доказательство теоремы Пуанкаре было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в серии статей 2002–2003 годов. 3