Несколько интересных фактов о пересечении шара с многогранниками:

• Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник — описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника. 34
• Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. 5 Он расположен только внутри многогранника. 5
• Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем рёбрам многогранника и проходящих через их середины. 5 Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника. 5
• Шар можно описать вокруг любого и вписать в любой правильный многогранник. 2 Однако не в любой многогранник можно вписать шар, и не вокруг любого можно описать шар. 2 Например, в прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом, нельзя вписать шар, а вокруг вытянутого гектаэдра невозможно описать шар. 2
• Если шар касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, то центр этого шара лежит на высоте пирамиды, соединяющей центры оснований, и шар касается рёбер оснований пирамиды в их серединах. 1