Какие геометрические свойства можно наблюдать в самопересекающихся вписанных четырехугольниках?

Возможно, имелись в виду свойства вписанных четырёхугольников, а не самопересекающихся. Некоторые из них:

• Теорема Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон. pyrkov-professor.ru www.resolventa.ru
• Сумма величин противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. www.resolventa.ru
• Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников с той же последовательностью длин сторон. ru.wikipedia.org
• Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке (антицентре). ru.wikipedia.org
• Во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямой. ru.wikipedia.org