Какие геометрические интерпретации можно дать определителю матрицы?

Определитель квадратной матрицы можно интерпретировать геометрически как объём n-мерного параллелепипеда, если рассмотреть строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда. 5

Некоторые примеры:

• Матрица 2x2: определитель равен площади параллелограмма, построенного на векторах, представленных строками (или столбцами) матрицы. 2
• Матрица 3x3: определитель — объём 3-мерного параллелепипеда. 5

Знак перед значением определителя свидетельствует о порядке следования векторов: если первый вектор находится против часовой стрелки относительно второго, то определитель положительный, иначе — отрицательный. 1