Ограниченная функция в математике — это функция, которая ограничена одновременно и снизу, и сверху. 1 Для такой функции существует положительное число М, такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества выполняется неравенство |f(x)|≤M. 4

Примеры ограниченных функций:

• Функция y=sin x, определённая при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|≤1 = M. 4
• Функция y=x2+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f(3) = 11. 4

Неограниченная функция — это функция, для которой не существует числа М, удовлетворяющего условию ограниченности. 24 Для любой положительной величины М находится хотя бы одно значение x, для которого |f(x)|>M. 2

Пример неограниченной функции: функция y=ln x при x Î (0; 1). 4 Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x→0 ln x→-∞. 4

Одна и та же функция на одном множестве может быть ограниченной, а на другом — неограниченной. 2