Существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. 45

Некоторые примеры таких функций:

• Функция Дирихле на отрезке [0,1]. 1 Она не интегрируема в смысле Римана, но интегрируема по Лебегу. 1
• Характеристическая функция набора Кантора с положительной мерой. 3 Она не является интегрируемой по Риману, потому что прерывиста в каждой точке этого «толстого» набора Кантора. 3

Общий класс таких функций можно описать так: если функция ограничена на конечном промежутке, то это любая измеримая функция, мера точек разрыва которой больше нуля. 2 Если не ограничена — то любая интегрируемая по Лебегу функция. 2