Некоторые отличия между конструкциями с предлогами «по» и «при»:

• Управление падежами. 2 Как правило, предлог «по» управляет дательным падежом, но в значении «после чего-либо» употребляется с предложным падежом. 25 Например: расположиться по прибытии на место (после прибытия на место), по истечении срока отчитаться о проделанной работе (после истечения срока). 5 В разговорном языке предлог «по» (с местоимениями: по нас, по вас, по нём, по них) управляет предложным падежом при указании лица, согласно с чьим желанием, привычкой, вкусами и т. п. совершается действие. 2
• Значение. 1 Конструкции с предлогом «при» могут выражать значения контакта, связи: дети будут при матери, иметь при себе паспорт, мастерские при школе. 1
• Денотативный статус ситуации. 1 Конструкции могут различаться значением: нужно гулять при любой погоде (значение ирреальной уступки или условно-уступительное: «какая бы ни была погода»), при всём моём уважении к вам я этого не сделаю (реальная ситуация и, соответственно, значение реальной уступки). 1