Некоторые доказательства теоремы о сумме углов треугольника:

1. Доказательство через накрест лежащие углы. 15 Через вершину В проведём прямую а, параллельную АС. 5 Углы 1 и 4 являются накрест лежащими при пересечении прямых а и АС и секущей АВ, а углы 3 и 5 — также при пересечении прямых а и АС и секущей ВС. 5 Значит, углы 4=1, 3=5. 5 Сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, то есть 4+2+5=180 градусов. 5 Учитывая равенство углов, получаем 1+2+3=180 градусов или А+В+С=180 градусов. 5
2. Доказательство на основе свойства прямоугольного треугольника. 1 Рассмотрим произвольный треугольник АВС. 1 Пусть острыми являются углы В и С. 1 Проведём из вершины А высоту АА1. 1 Точка А1 лежит между точками В и С. 1 Следовательно, А + ВАА1 + САА1. 1 По свойству прямоугольного треугольника ВАА1 = 90° – В и САА1 = 90° – С, то А = 90° – В + 90° – С. 1 Перенеся углы В и С в левую часть равенства, получим ∠А+ ∠В+∠С=180°. 1
3. Доказательство через свойства вертикальных углов. 1 Можно доказать теорему о сумме углов треугольника и практическими способами: перегибанием, отрыванием и измерением. 1