Одно из доказательств теоремы о пересечении медиан треугольника: 2

1. Докажем, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. 2 Пусть медианы BM и CN треугольника ABC пересекаются в точке O. 2 Отметим середины P и Q отрезков BO и CO. 2
2. Отрезок PQ — средняя линия треугольника OBC, а отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому PQ | BC | MN и PQ = ½ BC = MN. 2
3. Противоположные стороны PQ и MN четырёхугольника MNPQ равны и параллельны, значит, MNPQ — параллелограмм. 2 Его диагонали MP и QN делятся точкой O их пересечения пополам, поэтому MO = OP = BP и NO = OQ = CQ. 2 Следовательно, BO : OM = CO : ON = 2 : 1. 2
4. Поскольку каждые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника, медиана, проведённая из вершины A, должна разделить каждую из медиан BM и CN в таком отношении, а значит, должна пройти через точку O. 2 Что и требовалось доказать. 2

Ещё одно доказательство можно найти на сайте belmathematics.by: 4

1. Пусть медианы MB и РА треугольника MNP пересекаются в точке О. 4 Найдём середины С и D отрезков ОР и ОМ и рассмотрим четырёхугольник ABCD. 4 Его стороны АВ и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и МОР с общей стороной MP. 4 Поэтому четырёхугольник ABCD — параллелограмм. 4
2. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = ОВ. 4 Учитывая, что D — середина отрезка ОМ, получаем MD = OD = ОВ. 4 Значит, МО : ОВ = 2:1. 4 Также РО : ОА = 2:1. 4
3. Остаётся доказать, что третья медиана NE проходит через точку О. 4 Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке О1. 4 Тогда по доказанному МО : ОВ = 2:1. 4 Учитывая, что и РО : ОА = 2:1, заключаем, что точки 01 и О делят отрезок MB в одном и том же отношении. 4 А это значит, что точка 01 совпадает с точкой О. 4 Значит, медиана NE проходит через точку О пересечения медиан MB и РА. 4