Какие альтернативные способы доказательства формулы Пика существуют в геометрии?

Некоторые альтернативные способы доказательства формулы Пика в геометрии:

1. Для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными осям координат. s.science-start.ru Любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. s.science-start.ru Обозначив через с число целых точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения S. s.science-start.ru
2. Для любого треугольника. s.science-start.ru Такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (надо не более 3 таких треугольников). s.science-start.ru Отсюда следует корректность формулы Пика для любого треугольника. s.science-start.ru
3. Для произвольного многоугольника. s.science-start.ru Для доказательства нужно разбить его на треугольники с вершинами в целых точках. s.science-start.ru Для одного треугольника формула Пика доказана. s.science-start.ru Можно доказать, что при добавлении к многоугольнику треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. s.science-start.ru Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника. s.science-start.ru

Также существует геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби, основанное на том, что площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. ru.wikipedia.org dzen.ru