Замкнутые множества используются в теории топологических пространств для определения самой топологии. 3 Если зафиксировать семейство подмножеств некоторого множества X, удовлетворяющее определённым свойствам, и объявить их замкнутыми подмножествами в X, а дополнения до них — открытыми, то так определённая система открытых подмножеств будет удовлетворять аксиомам открытых множеств и, следовательно, задаст некоторую топологию на X. 1

Некоторые свойства замкнутых множеств, которые используются в этом процессе:

• Пересечение любой системы замкнутых множеств есть замкнутое множество. 2
• Объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество. 2
• Всё пространство замкнуто. 2
• Пустое множество замкнуто. 2