Как вывести формулу производной степенной функции?

Чтобы вывести формулу производной степенной функции, можно воспользоваться следующим алгоритмом: yandex.ru

1. Пусть функция y = x^a, где a — степень функции. yandex.ru Считаем, что x не равно нулю и a — целое число. yandex.ru
2. Зададим приращение dx — приращение к x. yandex.ru Тогда новое значение функции будет равно: y + dy = (x + dx)^a. yandex.ru
3. Разложим в ряд: y + dy = x^a + a x ^ (a - 1) dx + a(a-1)/2x^(a-2) dx^2+…. yandex.ru
4. Отсюда следует, что dy = a x ^ (a - 1) dx + a(a-1)/2x^(a-2) dx^2+…. yandex.ru
5. Производная функции равна: f'(x) = (x^a)' = dy/dx = ax^(a-1) + a(a-1)/2 x^(a-2)dx +…. yandex.ru
6. При стремлении dx к нулю останется только: (x^a)' = dy/dx = ax^(a-1) — ответ. yandex.ru

Ещё один способ вывода формулы производной степенной функции: 1cov-edu.ru

1. Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a, где a — произвольное действительное число. 1cov-edu.ru
2. Чтобы найти производную функции, воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем её к следующему виду. 1cov-edu.ru
3. Теперь находим производную, применяя правило дифференцирования сложной функции. 1cov-edu.ru