Чтобы вывести формулу производной степенной функции, можно воспользоваться следующим алгоритмом: 2

1. Пусть функция y = x^a, где a — степень функции. 2 Считаем, что x не равно нулю и a — целое число. 2
2. Зададим приращение dx — приращение к x. 2 Тогда новое значение функции будет равно: y + dy = (x + dx)^a. 2
3. Разложим в ряд: y + dy = x^a + a x ^ (a - 1) dx + a(a-1)/2x^(a-2) dx^2+…. 2
4. Отсюда следует, что dy = a x ^ (a - 1) dx + a(a-1)/2x^(a-2) dx^2+…. 2
5. Производная функции равна: f'(x) = (x^a)' = dy/dx = ax^(a-1) + a(a-1)/2 x^(a-2)dx +…. 2
6. При стремлении dx к нулю останется только: (x^a)' = dy/dx = ax^(a-1) — ответ. 2

Ещё один способ вывода формулы производной степенной функции: 5

1. Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a, где a — произвольное действительное число. 5
2. Чтобы найти производную функции, воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем её к следующему виду. 5
3. Теперь находим производную, применяя правило дифференцирования сложной функции. 5