Как вычислить производную функции по направлению градиента?

Чтобы вычислить производную функции по направлению градиента в определённой точке и направлении, нужно выполнить следующие шаги: 1

1. Найти градиент. 1 Это вектор, который указывает направление наибольшего увеличения функции. 1
2. Нормализовать вектор направления. 1 Нужно убедиться, что его длина равна 1. 1 Для этого каждую составляющую вектора делят на её величину. 1
3. Взять скалярное произведение нормализованного вектора направления и градиента. 1 Скалярное произведение получают путём умножения соответствующих компонентов двух векторов и последующего их суммирования. 1
4. Оценить производную в точке. 1 Для этого нужно подставить координаты точки, в которой нужно найти производную по направлению, в градиент и нормализованный вектор направления. 1

Формула для расчёта производной по направлению: Du f(x0) = ∇f(x0) · u, где ∇f(x0) — градиент функции в точке x_0, а · — скалярное произведение. 2

Полученное значение производной по направлению покажет, как быстро и в каком направлении будет меняться значение функции, если следовать вектору u. 2