Для вычисления площади фигуры через систему координат можно использовать следующие подходы:

1. Если известны координаты всех вершин фигуры. 1 Площадь заданной геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, трапеции, ромба и т. д.) можно найти по стандартным формулам. 1 Предварительно нужно найти длину сторон, диагоналей и т. п. (всё зависит от фигуры) с помощью формулы нахождения длины отрезка по заданным координатам. 1
2. Для фигур в полярной системе координат. 34 Площадь криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией и двумя лучами, можно вычислить так: 5

• Считать часть искомой площади как функцию угла. 5
• Если текущий полярный угол получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади ΔS равно площади «элементарного криволинейного сектора». 5
• Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ → 0 и равен площади кругового сектора радиуса r с центральным углом dφ. 5 Поэтому dS = (1/2)⋅ r² ⋅ dφ. 5
• Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = α до φ = β, получим искомую площадь. 5

Если плоская фигура имеет сложную форму, то лучами, выходящими из полюса, её следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. 5