Чтобы вычислить площадь под кривой, заданной в полярных координатах, можно использовать метод интегрирования. 13

Алгоритм вычисления площади криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r(φ) и двумя лучами φ = α и φ = β, где r и φ — полярные координаты: 3

1. Считать часть искомой площади S как функцию угла φ, то есть S = S(φ), где α < φ < β (если φ = α, то S(α) = 0, если φ = β, то S(β) = S). 3
2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади ΔS равно площади «элементарного криволинейного сектора». 3 Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ → 0 и равен площади кругового сектора радиуса r с центральным углом dφ. 3 Поэтому dS = (1/2)⋅ r² ⋅ dφ. 3
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = α до φ = β, получим искомую площадь. 3

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, её следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. 3

Для удобства можно воспользоваться онлайн-калькуляторами, например, на сайте ru.symbolab.com. 4