Чтобы вычислить первообразную сложной рациональной функции, можно воспользоваться разложением дроби на простейшие. 5

Алгоритм действий: 2

1. Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, то сначала уголком делят числитель на знаменатель. 2
2. После этого рациональную функцию представляют в виде суммы частного и правильной дроби, в числителе которой стоит остаток от деления, а знаменатель совпадает со знаменателем исходной функции. 2
3. Затем знаменатель разбивают на множители и с помощью метода неопределённых коэффициентов находят разложение рациональной функции в сумму элементарных дробей. 2

Первообразная рациональной функции выражается в виде суммы рациональных функций, натуральных логарифмов и арктангенсов. 5

Кроме того, для интегрирования сложных функций используют способ замены переменных. 3

Важно учитывать, что найти первообразную функции можно не всегда. 1 Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём. 1