Как вычислить первообразную для сложной рациональной функции?

Чтобы вычислить первообразную сложной рациональной функции, можно воспользоваться разложением дроби на простейшие. ru.ruwiki.ru

Алгоритм действий: www.chem.msu.ru

1. Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, то сначала уголком делят числитель на знаменатель. www.chem.msu.ru
2. После этого рациональную функцию представляют в виде суммы частного и правильной дроби, в числителе которой стоит остаток от деления, а знаменатель совпадает со знаменателем исходной функции. www.chem.msu.ru
3. Затем знаменатель разбивают на множители и с помощью метода неопределённых коэффициентов находят разложение рациональной функции в сумму элементарных дробей. www.chem.msu.ru

Первообразная рациональной функции выражается в виде суммы рациональных функций, натуральных логарифмов и арктангенсов. ru.ruwiki.ru

Кроме того, для интегрирования сложных функций используют способ замены переменных. spravochnick.ru

Важно учитывать, что найти первообразную функции можно не всегда. skysmart.ru Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём. skysmart.ru