Область значений функции — это множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. 1

Чтобы вычислить область значений функции, можно использовать графический метод или метод поиска минимума и максимума. 14

Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. 4 Чаще всего его используют для функций с простой зависимостью. 1 Алгоритм нахождения области значений функции по графику: 1

1. Найти область определения функции. 1 Если выражение f(x) является дробным, область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. 1 Если выражение f(x) находится под квадратным корнем, область определения можно узнать из неравенства f(x)≥0. 1
2. Построить график функции по точкам. 1
3. Найти минимум функции. 1 Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. 1 Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. 1
4. Определить максимум функции. 1 Аналогично найти верхнюю границу области значений. 1 Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. 1
5. Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. 1

Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области. 4

Алгоритм нахождения области значений функции по уравнению: 1

1. Найти производную функции. 1
2. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. 1
3. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. 1
4. Найти минимумы и максимумы функции. 1 Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. 1
5. Подставить значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. 1
6. Записать область значений функции. 1

Область значений записывают в виде числового промежутка. 1 Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. 1 Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U». 1