Как вычислить область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. wika.tutoronline.ru

Чтобы вычислить область значений функции, можно использовать графический метод или метод поиска минимума и максимума. wika.tutoronline.ru spravochnick.ru

Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. spravochnick.ru Чаще всего его используют для функций с простой зависимостью. wika.tutoronline.ru Алгоритм нахождения области значений функции по графику: wika.tutoronline.ru

1. Найти область определения функции. wika.tutoronline.ru Если выражение f(x) является дробным, область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. wika.tutoronline.ru Если выражение f(x) находится под квадратным корнем, область определения можно узнать из неравенства f(x)≥0. wika.tutoronline.ru
2. Построить график функции по точкам. wika.tutoronline.ru
3. Найти минимум функции. wika.tutoronline.ru Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. wika.tutoronline.ru Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. wika.tutoronline.ru
4. Определить максимум функции. wika.tutoronline.ru Аналогично найти верхнюю границу области значений. wika.tutoronline.ru Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. wika.tutoronline.ru
5. Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. wika.tutoronline.ru

Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области. spravochnick.ru

Алгоритм нахождения области значений функции по уравнению: wika.tutoronline.ru

1. Найти производную функции. wika.tutoronline.ru
2. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. wika.tutoronline.ru
3. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. wika.tutoronline.ru
4. Найти минимумы и максимумы функции. wika.tutoronline.ru Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. wika.tutoronline.ru
5. Подставить значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. wika.tutoronline.ru
6. Записать область значений функции. wika.tutoronline.ru

Область значений записывают в виде числового промежутка. wika.tutoronline.ru Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. wika.tutoronline.ru Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U». wika.tutoronline.ru