Как вычислить математическое ожидание случайной величины через интеграл Лебега-Стилтьеса?

Чтобы вычислить математическое ожидание случайной величины через интеграл Лебега-Стилтьеса, нужно использовать формулу: если FX(x) — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса: E[X] = ∫−∞∞ x dFX(x). 1

Для абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью fX(x), математическое ожидание равно: E[X] = ∫−∞∞ x fX(x) dx. 1

При этом для того, чтобы интеграл был конечен, необходимо требовать его абсолютную сходимость. 2

Также для вычисления математического ожидания можно использовать эквивалентность интегралов Лебега-Стилтьеса и Римана-Стилтьеса (при соблюдении необходимых условий). 4