Как вычислить интегралы с корнями?

Основной приём решения интегралов с корнями — замена переменной, которая избавляет от всех корней в подынтегральной функции. 1

Один из алгоритмов решения: 1

1. Произвести подстановку. 1
2. Избавиться от корней: вынести константу за знак интеграла, сократить числитель и знаменатель. 1
3. Сократить числитель и знаменатель ещё раз. 1
4. Раскладывать числитель в сумму. 1
5. Почленно делить числитель на знаменатель. 1
6. Интегрировать по таблице. 1
7. Провести обратную замену. 1 В ходе обратной замены некоторые корни лучше сразу сократить (обычно это делается устно). 1

Если под интегралом стоит выражение с корнем, а под корнем — линейная конструкция kx+b, то нужно сделать замену kx+b = tn, где n — показатель корня. 2

Если под интегралом присутствуют корни разных степеней (m и n) из линейного выражения kx+b, то нужно сделать замену kx+b = tmn, ликвидирующую все корни. 2

Если после замены под интегралом получилась рациональная дробь, в которой степень числителя больше степени знаменателя, то нужно попробовать выделить целую часть — добавлением/вычитанием слагаемых, почленным делением и т. п.. 2 Часто дробь значительно упрощается, и интеграл легко сводится к комбинации табличных. 2

При вычислении интегралов, содержащих корни, важно учитывать, что корни многозначны. 5