В произвольный многоугольник вписать окружность невозможно. 2 Окружность можно вписать только в многоугольники, соответствующие определённым правилам. 1

Некоторые случаи, когда это возможно:

• В треугольник. 2 Окружность можно вписать в любой треугольник, и только одну. 23 Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. 2
• В четырёхугольник, если суммы его противоположных сторон одинаковы. 13 Например, окружность можно вписать в ромб или квадрат, но нельзя вписать в прямоугольник или параллелограмм. 2
• В трапецию, если она равнобокая. 1

Это связано с тем, что окружность требует равномерности расстояний от центра до всех точек на границе фигуры. 5