Как влияет наличие комплексных чисел в области определения на свойства функций?

Наличие комплексных чисел в области определения влияет на свойства функций следующим образом: расширение класса функций приводит к появлению новых свойств, при этом сохраняются известные свойства функций действительного переменного: теоремы о пределах, правила дифференцирования, формулы интегрирования и т. д.. elib.osu.ru

Некоторые примеры влияния комплексных чисел на свойства функций:

• Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными. ru.wikipedia.org Например, всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна). ru.wikipedia.org
• Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). ru.wikipedia.org Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути. ru.wikipedia.org
• Тригонометрические функции в комплексной области являются неограниченными, более того, уравнения sin z = A и cos z = A имеют решения при любом комплексном A. emirs.miet.ru