Как векторные пространства используются в функциональном анализе?

Векторные пространства используются в функциональном анализе следующим образом:

• Большинство функциональных пространств, встречающихся в математическом анализе, являются векторными пространствами. bigenc.ru Например, пространство непрерывных на отрезке функций или большинство пространств числовых последовательностей. bigenc.ru В таких пространствах определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (действительное или комплексное). bigenc.ru
• Изучение конкретных примеров векторных пространств привело к выделению класса банаховых пространств. bigenc.ru Для каждого элемента такого пространства определена норма — действительное число, обладающее свойствами длины вектора. bigenc.ru Наличие нормы позволяет определить понятие расстояния между элементами, понятия шара, окрестности элемента, предельной точки множества, сходимости последовательности элементов и ряд других, обобщающих соответствующие понятия классического анализа. bigenc.ru
• Наряду с банаховыми, гильбертовыми и топологическими векторными пространствами, в функциональном анализе изучаются различные операторы между этими пространствами — линейные, нелинейные, ограниченные, неограниченные. www.hse.ru Часто бывает так, что задан какой-то оператор (например, дифференциальный или интегральный), и специально для его изучения строится некое пространство, в котором он действует. www.hse.ru Так возникли, например, пространства Соболева, играющие важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными. www.hse.ru