Векторные пространства используются в функциональном анализе следующим образом:

• Большинство функциональных пространств, встречающихся в математическом анализе, являются векторными пространствами. 1 Например, пространство непрерывных на отрезке функций или большинство пространств числовых последовательностей. 1 В таких пространствах определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (действительное или комплексное). 1
• Изучение конкретных примеров векторных пространств привело к выделению класса банаховых пространств. 1 Для каждого элемента такого пространства определена норма — действительное число, обладающее свойствами длины вектора. 1 Наличие нормы позволяет определить понятие расстояния между элементами, понятия шара, окрестности элемента, предельной точки множества, сходимости последовательности элементов и ряд других, обобщающих соответствующие понятия классического анализа. 1
• Наряду с банаховыми, гильбертовыми и топологическими векторными пространствами, в функциональном анализе изучаются различные операторы между этими пространствами — линейные, нелинейные, ограниченные, неограниченные. 2 Часто бывает так, что задан какой-то оператор (например, дифференциальный или интегральный), и специально для его изучения строится некое пространство, в котором он действует. 2 Так возникли, например, пространства Соболева, играющие важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными. 2